Dans les articles du menu « Fondamentaux », nous avons abordé succinctement le nombre d’or, la suite de Fibonacci va maintenant nous permettre de une première approche de la façon dont ce nombre d’or est l’outil privilégié du créateur de notre univers.

Définition

La suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Elle commence généralement par les termes 0 et 1 (parfois 1 et 1) et ses premiers termes sont : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 (144 est la 12^ème occurrence… voir nos lapins ci-après).

Historique

Léonard de Pise (1175 – 1240), un « homme d’affaires » du XIII^ème siècle passionné de mathématiques, qui se déplaçait à travers tout le Moyen Orient pour ses occupations marchandes occupait ses loisirs à se familiariser avec les sciences mathématiques que pratiquaient ses clients Arabes.
On lui doit probablement l’introduction des chiffres arabes en Europe et en particulier le Zéro (les chiffres « arabes », comme on l’a découvert depuis, proviennent des Indes, et non des arabes qui ne furent qu’un vecteur…). On lui doit aussi un traité de mathématiques le « Liber abaci » où il expose toutes les connaissances acquises au long de ses voyages. Parmi elles, il rapporte une étude sur une suite de nombres peu banale…
Léonard de Pise (alias « Fibonacci ») y présente en effet une suite de nombres que ses interlocuteurs arabes prêtaient à la prolifération des lapins ! Et il pose le problème en ces termes :
Combien de paires de lapins peuvent être engendrées par un couple unique en un an, si chaque mois, chaque paire produit une autre paire qui devient productive à son tour à partir du 2^ème mois.

La réponse est 144 car la providence a voulu qu’aucun lapin ne décède !

La suite de Fibonacci et les mesures anciennes

Lorsque l’on veut évaluer la longueur d’un mur ou d’une table par exemple, et que l’on ne dispose pas d’un double-mètre, on porte successivement la longueur de la main, doigts écartés, de façon spontanée : on utilise l’empan sans le savoir !
Cette longueur est généralement comprise entre 20 et 23 cm pour la plupart des hommes normalement constitués.
Depuis les temps les plus reculés, instinctivement, la main a donné ainsi naissance à un système de mesures variable suivant l’époque et la région.
Le passage d’une unité à l’autre se fait en numérotation duodécimale.

Nota bene : On appelle « Quine » les 5 unités de mesures encadrées (paume + palme + empan + pied + coudée). C’est précisément cette « Quine » qui a servi à la graduation de la canne des Maîtres d’oeuvre qui fera l’objet d’un autre article. Les cinq mesures de la suite dorée inscrite sur la canne du maître d’oeuvre, sont celles de la représentation de l’homme géométrique.

La suite de Fibonacci et  φ dans le  monde végétal

On ne peut expliquer par le simple hasard l’étrange prédominance du nombre d’or en botanique.
Son apparition est beaucoup trop fréquente pour n’être qu’accidentelle. Sur une spirale donnée deux points d’insertion consécutifs des feuilles d’une plante forment avec le centre un angle constant de 137,5°.

C’est ainsi que les arcs ab, puis bc, cd, de, etc. de la spirale couvrent tous un angle de 137,5° par rapport au centre de la spirale.

Cette mesure d’angle correspond à une rotation de 360° x 1  / φ² = 137,5° !
ou encore 360° x 34 / 89 = 137,5°… (cf. plus haut la suite 13 , 21 , 34 , 55, 89, 144…)
Le cas d’implantation des feuilles ci-contre est celui d’une foule de végétaux, par exemple l’artichaut, le rosier ou le céleri.
Autre exemple : les fleurs de tournesol (voir l’image du bandeau de cet article) présentent 89 spirales dans un sens et 144 dans l’autre et 144 / 89 ≅ 1,617977 le nombre d’or !

La suite de Fibonacci et la musique

Ce sujet est assez controversé entre ses partisans et certains puristes de la musicologie

Nous vous proposons de faire votre propre opinion en regardant cette vidéo de Sylvain Lalonde :

La suite de Fibonacci et les cotations boursières

Cette surprenante découverte dite des « vagues d’Elliott » porte le nom de son auteur. Nous nous appuyons sur les sites de ABC Bourse et de J.Y. Baudot pour vous l’expliciter.

« Elliott a découvert dans les marchés financiers une sorte d’harmonie dans laquelle le nombre d’or et les valeurs prises par la suite de Fibonacci tiennent un rôle central.« 

« Celui-ci constate qu’un même schéma se répète lors des périodes de hausse du prix des actions et qu’une configuration opposée s’observe lors des baisses. « 

« Au cours de l’évolution d’un titre ou d’un indice, on assiste régulièrement à des phases de consolidation sous forme de correction technique lors d’une tendance haussière et de rebond lors d’une tendance baissière. Ces mouvements de cours de direction opposée à la tendance principale sont appelés des retracements.« 

La méthode des retracements de Fibonacci permet de déterminer des objectifs de cours au sein de ces phases de consolidation. Elle permet de prévoir l’amplitude des corrections et des rebonds afin de se positionner au mieux au sein d’une tendance.

« Un cycle de cotations est globalement haussier ou baissier et se décompose en huit vagues d’Elliott.« 

« Les cinq premières vagues sont dites « de tendance » (n° 1 à 5) et les trois suivantes sont des vagues « de correction » (a, b et c). Les vagues 1, 3 et 5 sont des vagues d’impulsion. Ce sont les trois vagues qui vont faire la tendance. Les vagues 2 et 4 sont au contraire des vagues de correction de tendance. Les vagues a et c sont aussi considérées comme des vagues d’impulsion, bien qu’elles n’aillent pas dans le même sens que 1, 3 et 5, tandis que b est une correction. Ainsi, on considère qu’au cours d’un cycle il y a cinq impulsions pour trois corrections (nombres de Fibonacci).

Le processus étant fractal, chacune des vagues se décompose en vaguelettes, qui elles-mêmes se décomposent et ainsi de suite. Donc, si l’on observe un cycle, celui-ci comporte cinq vagues d’impulsion. Celles-ci incluent alors 5² = 25 vagues d’impulsion tandis que les trois vagues de correction n’en comportent chacune que trois, soit 3² = 9. Donc un total de 25 + 9 = 34 vagues d’impulsion (nombre de Fibonacci). En descendant d’un niveau supplémentaire, on obtient toujours un nombre de Fibonacci (144), puis un autre, etc. Ces chiffres restent toutefois théoriques car ils ne sont pas toujours observés.

Sur le moment, la vague 1 n’est pas la plus simple à détecter car elle amorce un nouveau cycle. Il arrive qu’elle se décompose en trois mini-vagues au lieu de cinq. La vague 2 montre souvent un retour assez fort, parfois même sur le point de départ. La vague 3 est la principale : mouvement long et volumes élevés. Investisseurs et spéculateurs ont tous compris que c’est le moment d’acheter (si le cycle est haussier) ou de vendre (s’il est baissier). La vague 4 montre une pause. C’est une phase de consolidation, jamais forte au point d’annuler la 3. La vague 5 voit les derniers intervenants se décider (petits porteurs). Le mouvement peut durer longtemps mais sans violence. La vague a est rarement forte, la vague b est souvent égale à la vague a multipliée par le ratio de Fibonacci (0,618) et la vague c montre une violence digne de la 2. »

Comment les utiliser

« En premier lieu, on repère graphiquement le creux et le sommet de la tendance. On gradue ensuite cette hauteur de 0 à 100%.

– Si la tendance est haussière, les lignes de retracement descendront de 0% à 100%.
– Si la tendance est baissière, les lignes de retracement monteront de 0% à 100%.

On trace ensuite des traits horizontaux aux niveaux de Fibonacci, soit 23,6%, 38,2%, 50%, 61,8% et 78,6%.

Ces traits représentent les niveaux de support et de résistance où les cours risquent de retracer, suite à un changement de tendance. Ainsi, après une tendance haussière, les 5 niveaux de retracement vont permettre de fixer des supports théoriques au sein de la correction technique qui s’ensuit. »

Conclusion de ABC Bourse :

« La méthode des retracements de Fibonacci sert à prévoir les niveaux de support et de résistance théoriques contre lesquels les cours risquent de buter, suite à un changement de tendance. Il est vrai que l’expérience donne relativement souvent raison à cette méthode. Elle ne peut cependant pas constituer une technique de trading à part entière, mais permettre de se positionner ou de clore une position à un moment opportun, associée à d’autres indicateurs. Elle permet aussi de se donner des niveaux précis à surveiller pour voir le comportement des investisseurs quand ils sont atteints.«